diketahui jarak pusat lingkaran I dan J adalah 12 cm lingkaran I memiliki jari-jari 8 cm Tentukan jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan

Kelas         : X
Pelajaran   : Matematika
Kategori     : Pertidaksamaan
Kata Kunci : lingkaran, garis, singgung, persekutuan, luas, jarak, pusat, jari-jari, maksimal, syarat, domain, akar, kuadrat

Kode : 10.2.4 [Kelas 10 Matematika Bab 4 - Pertidaksamaan]

Diketahui
Jari-jari lingkaran I = 8 cm
Jarak kedua pusat lingkaran I dan J = 12 cm

Ditanya
Jari-jari J maksimal agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J

Penyelesaian

Meskipun sepintas kasus ini termasuk dalam materi Lingkaran kelas VIII, namun ternyata dapat dikategorikan ke dalam aplikasi Pertidaksamaan SMA.

Siapkan
Jarak antar pusat JP = 12 cm
r₁ = jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I

Perhatikan skema gambar terlampir

Step-1
Rumus garis singgung persekutuan luar (GSPL)

Hubungan antara GSPL, JP (jarak antar pusat), dan jari-jari adalah

[tex]GSPL = \sqrt{JP^2-(r_1-r_2)^2} [/tex]
Anggap r₁ > r₂

Step-2
Syarat agar terdapat GSPL

Dari rumus di atas, syarat agar GSPL terdefinisikan adalah GSPL > 0
⇔ GSPL > 0
⇔ [tex]\sqrt{JP^2-(r_1-r_2)^2} \ \textgreater \ 0[/tex]

Selanjutnya, ingat syarat domain bagi fungsi di dalam akar kuadrat. Untuk [tex] \sqrt{f(x)} [/tex] maka f(x) ≥ 0. 

⇔ [tex]JP^2-(r_1-r_2)^2 \ \geq \ 0[/tex]

Anggap r₂ sebagai jari-jari lingkaran terkecil, dalam hal ini r₂ = 8 cm 
⇔ 12² - (r₁ - 8)² ≥ 0

⇔ (r₁ - 8)² ≤ 12²

⇔ (r₁ - 8)² - 12² ≤ 0 ⇒ a² - b² = (a - b)(a + b)

⇔ (r₁ - 8 - 12)(r₁ - 8 + 12) ≤ 0

⇔ (r₁ - 20)(r₁ + 4) ≤ 0

Diperoleh r₁ = -4 dan r₂ = 20.
Uji tanda pada garis bilangan menghasilkan batas-batas nilai r₁, yakni
-4 ≤ r₁ ≤ 20.

Perhatikan, karena jari-jari lingkaran harus bernilai positif dan GSPL tidak mungkin sama dengan nol, batas-batas tersebut menjadi 0 < r₁ < 20.

Ingat
r₁ = jari-jari lingkaran J
r₂ = jari-jari lingkaran I
 
Kesimpulan:
Agar terdapat garis singgung persekutuan luar antara lingkaran I dan J, panjang jari-jari lingkaran J harus kurang dari 20 cm.  

Atau, dengan kata lain panjang jari-jari lingkaran J maksimal nilainya mendekati 20 cm.

______________________

Simak kasus garis singgung persekutuan dalam berikut ini
https://brainly.co.id/tugas/14246409