Diketahui f (x) merupakan fungsi berderajat 3 yang memenuhi lim mendekati 0 f (x) / x=1, mendekati 1 f (x) / x-1=1. Tentukanlah rumus fungsi f (x) …

Kelas          : XI
Pelajaran    : Matematika
Kategori      : Limit Aljabar
Kata Kunci  : fungsi, berderajat, tiga, mendekati, rumus, terdefinisikan

Kode : 11.2.7 [Kelas 11 Matematika Bab 7 - Limit]

Pembahasan

Diketahui fungsi berderajat tiga f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Dari soal dapat ditulis sebagai berikut:
[tex] \lim_{x \to \ 0} \frac{f(x)}{x}=1 [/tex] ... [persamaan-1]
dan,
[tex] \lim_{x \to \ 1} \frac{f(x)}{x-1}=1 [/tex] ... [persamaan-2]

Kali ini kita pilih Dalil L'Hospital atau turunan dalam mengolah kedua persamaan limit tersebut.

Pengerjaan persamaan-1

⇔ [tex] \lim_{x \to \ 0} \frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x}=1 [/tex]
⇔ [tex] \lim_{x \to \ 0} \frac{3ax^2+2bx+c}{1}=1 [/tex] ⇒ penggunaan Dalil L'Hospital
⇔ 3a(0)² + 2b(0) + c = 1
Diperoleh [tex]\boxed{c=1}[/tex]

Pengerjaan persamaan-2

⇔ [tex] \lim_{x \to \ 1} \frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x-1}=1 [/tex]
⇔ [tex] \lim_{x \to \ 1} \frac{3ax^2+2bx+c}{1}=1 [/tex] ⇒ penggunaan Dalil L'Hospital
⇔ 3a(1)² + 2b(1) + c = 1
Diperoleh [tex]\boxed{3a+2b+c=1}[/tex]

Substitusikan nilai c
3a+ 2b + 1 = 1
Diperoleh [tex]\boxed{3a+2b=0}[/tex] ... [persamaan-3]

Sekarang, perhatikan bahwa pada soal ini sebuah limit dikatakan belum memiliki nilai atau tak terdefinisikan atau bentuk tak tentu, apabila hasilnya [tex] \ \frac{0}{0} [/tex].

Olah kembali persamaan-1 sebagai berikut:

⇔ [tex] \lim_{x \to \ 0} \frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x}= \frac{0}{0}[/tex]
⇔ [tex] \frac{a(0)^3+b(0)^2+c(0)+d}{0}= \frac{0}{0} [/tex]
⇔ [tex]a(0)^3+b(0)^2+c(0)+d = 0[/tex]
Diperoleh [tex]\boxed{d = 0} [/tex]

Olah kembali persamaan-2 sebagai berikut:

⇔ [tex] \lim_{x \to \ 1} \frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x-1}=\frac{0}{0}[/tex]
⇔ [tex]\frac{a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d}{1-1}= \frac{0}{0} [/tex]
⇔ [tex]a(1)^3+b(1)^2+c(1)+d = 0[/tex]
Diperoleh [tex]\boxed{a + b + c + d = 0} [/tex]

Substitusikan c = 1 dan d = 0 ke dalam a + b + c + d = 0.
⇔ a + b + 1 + 0 = 0
Diperoleh [tex]\boxed{a + b = -1} [/tex] .. [persamaan-4]

Eliminasikan persamaan-3 dan persamaan-4

3a + 2b = 0
a + b = -1 ⇒ kalikan 2 agar variabel b sama

Susun ulang
3a + 2b = 0
2a + 2b = -2
--------------- ( - )
Diperoleh [tex]\boxed{a = 2 \ dan \ b = -3} [/tex]

Akhirnya seluruh komponen fungsi f(x) telah lengkap, yakni:
[tex]\boxed{a=2, \ b=-3, \ c=1, \ d=0}[/tex]

Kesimpulan ⇒ rumus fungsi [tex]\boxed{f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x}[/tex]

----------------------------------------

Pembuktian terbalik terhadap persamaan-1
⇔ [tex] \lim_{x \to \ 0} \frac{2x^3 - 3x^2 + x}{x}=1 [/tex]
⇔ [tex] \lim_{x \to \ 0} \frac{x(2x^2 - 3x + 1)}{x}=1 [/tex]
⇔ [tex] \lim_{x \to \ 0} (2x^2 - 3x + 1)=1[/tex]
⇔ [tex]2(0)^2 - 3(0) + 1=1[/tex]
⇔ 1 = 1, terbukti

Pembuktian terbalik terhadap persamaan-2
⇔ [tex] \lim_{x \to \ 1} \frac{2x^3 - 3x^2 + x}{x-1}=1 [/tex]
⇔ [tex] \lim_{x \to \ 1} \frac{x(2x^2 - 3x + 1)}{x-1}=1 [/tex]
⇔ [tex] \lim_{x \to \ 1} \frac{x(2x - 1)(x - 1)}{x-1}=1 [/tex]
⇔ [tex] \lim_{x \to \ 1} x(2x - 1)=1[/tex]
⇔ [tex](1)[2(1) - 1]=1[/tex]
⇔ 1 = 1, terbukti
_______________________________

Pelajari soal-soal limit lainnya
https://brainly.co.id/tugas/5868905
brainly.co.id/tugas/9370850
brainly.co.id/tugas/2112983